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Topologische Axiomatisierung methodologischer Konzepte der Theorienentwicklung
Erfahrung und Denken, Vol. 81
(1998)
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Abstract
Das Problem der rationalen Theorienwahl gehört zu den ältesten der Wissenschaftstheorie. Ein Wissenschaftler wird scheinbar intuitiv zu gegebenen Daten eine Hypothese finden, die er als die einfachste ansieht. In diesem Buch wird ein neuer topologischer Formalismus entwickelt, der die Probleme der Sprachabhängigkeit älterer Einfachheitskonzeptionen vermeidet. Unscharfe Meßdaten werden als topologische Umgebungen eines idealen Meßergebnisses verstanden und erzeugen auf der Menge der Modelle (oder Zustände) einer Theorie eine empirische Topologie, die sogenannte Hyperraumtopologie. Die notwendigen mathematischen Voraussetzungen werden bereitgestellt.Über die Hyperraumtopologie wird die Dimensionszahl der Theorie, also die Zahl ihrer freien Parameter erklärt. Eine Theorie ist um so einfacher, je weniger Parameter sie hat, also je weniger empirische Information benötigt wird, um eine Vorhersage deduzieren zu können. Mit topologischen Mitteln läßt sich nun Poppers Konzept der Prüfbarkeit formalisieren und als proportional zur Dimensionszahl nachweisen. Es wird ein zugehöriger Bewährungsbegriff entwickelt und für die vier wichtigsten Bewährungsparadoxien Lösungsansätze gegeben. Die Frage, unter welchen Bedingungen rationale Theoriewahl zu einer wahren und einfachsten Theorie führt, wird im Lichte von Fortschrittskriterien untersucht.Die Beziehungen der Theorierekonstruktion durch den Hyperraumformalismus zum Strukturalismus und zur Semantik werden ebenso beleuchtet wie die vielfältigen topologischen Beziehungen zwischen Erfahrungsdaten und Theorie, beispielsweise die Frage der Eliminierbarkeit theoretischer Terme im Hyperraumformalismus. Es wird dargelegt, wie topologische Größen und Koordinatensysteme als Hyperräume repräsentiert werden können. Zwei Kapitel zur Axiomatik der relativistischen Raumzeit und zur Quantenmechanik als Anwendungsbeispiele für den Einfachheitsbegriff beschließen das Buch.Die Arbeit wurde ausgezeichnet mit dem Wolfgang-Stegmüller-Preis
Table of Contents
| Section Title | Page | Action | Price |
|---|---|---|---|
| Inhalt | 7 | ||
| I Einleitung | 11 | ||
| II Topologische Räume | 16 | ||
| II.1 Notation und Grundbegriffe | 16 | ||
| II.1.a Notation | 16 | ||
| II.1.b Topologische Grundbegriffe | 17 | ||
| II.2 Uniforme Strukturen | 21 | ||
| II.2.a Abschlußstrukturen | 21 | ||
| II.2.b Uniforme Basen | 23 | ||
| II.2.c Uniforme Konvergenz | 25 | ||
| II.2.d Metrisierbarkeit | 27 | ||
| II.3 Dimensionstheorie | 29 | ||
| II.3.a Ränder | 29 | ||
| II.3.b Nulldimensionale Räume | 32 | ||
| II.3.c Charakterisierung der Dimension | 35 | ||
| II.3.d Weitere Eigenschaften des Dimensionsbegriffs | 40 | ||
| II.3.e Weiterführende Resultate | 43 | ||
| III Einfachheit | 45 | ||
| III.1 Einführung | 45 | ||
| III.1.a Motivation | 45 | ||
| III.1.b Historisches | 46 | ||
| III.2 Syntaktisch-semantische Einfachheit | 47 | ||
| III.2.a Logische Einfachheit | 47 | ||
| III.2.b Syntaktische Einfachheit | 53 | ||
| III.3 Mengentheoretische Einfachheit | 55 | ||
| III.3.a Endlich bestimmbare Theorien | 55 | ||
| III.3.b Verallgemeinerte Kurvenklassen | 59 | ||
| III.3.c Hyperraumtopologie | 61 | ||
| III.3.d Andere Topologien und Kompaktifizierung | 64 | ||
| III.3.e Parameter | 67 | ||
| III.4 Einfachheit und homogene Prüfbarkeit | 68 | ||
| III.4.a Homogene Prüfbarkeit und geometrische Dimension | 69 | ||
| III.4.b Beispiel | 73 | ||
| III.5 Beweis der Sätze | 74 | ||
| III.5.a Charakterisierung der Hyperraumtopologie | 74 | ||
| III.5.b Uniforme Strukturen und Kompaktifizierung | 79 | ||
| III.5.c Funktionenräume | 81 | ||
| III.5.d Parameter | 83 | ||
| III.5.e Verknüpfung von Hyperräumen | 85 | ||
| III.5.f Der Geometriesatz | 89 | ||
| III.5.g Eine Schranke der geometrischen Dimension | 94 | ||
| III.5.h Der Geometriesatz für parametrisierbare Räume | 95 | ||
| III.5.i Ist der Geometriesatz verallgemeinerbar? | 98 | ||
| IV Methodologie | 101 | ||
| IV.1 Einfachheit und Erfahrung | 101 | ||
| IV.1.a Positive Observabilität | 101 | ||
| IV.1.b Formalisierung von positiver Observabilität | 104 | ||
| IV.1.c Prüfbarkeit und Bewährung | 109 | ||
| IV.1.d Hypothesenwahrscheinlichkeit | 116 | ||
| IV.2 Theorierahmen | 117 | ||
| IV.2.a Theoriewahl | 118 | ||
| IV.2.b Lerntheoretische Konvergenz | 121 | ||
| IV.2.c Lineare Funktionenräume | 125 | ||
| IV.2.d Lineare Differentialgleichungen | 128 | ||
| IV.2.e Theorieevolution und Fortschritt | 130 | ||
| IV.3 Bestätigungsparadoxien | 133 | ||
| IV.3.a Scheinbewährungen | 133 | ||
| IV.3.b Ornithologie der Rabenvögel (Corvidae) | 136 | ||
| IV.3.c Gesetzesartigkeit | 140 | ||
| IV.3.d Zerrüttete Prädikate | 141 | ||
| V Theorierekonstruktion | 147 | ||
| V.1 Hyperraumstrukturalismus | 147 | ||
| V.1.a Entwicklung des Non-Statement-Views | 147 | ||
| V.1.b Abstraktion zu Strukturspezien | 151 | ||
| V.1.c Skizze einer Hyperraumsemantik | 153 | ||
| V.2 Theoretizität | 156 | ||
| V.2.a Theoretizität und Definitionslehre | 156 | ||
| V.2.b Syntaktische Definierbarkeit im Hyperraum | 160 | ||
| V.2.c Zwei Induktionstheoreme für Hyperräume | 163 | ||
| V.2.d Theorieabhängigkeit von Messungen | 167 | ||
| V.2.e Symmetrien und Observabilität | 169 | ||
| V.3 Topologische Grössen | 171 | ||
| V.3.a Funktionen als Hyperräume | 171 | ||
| V.3.b Zusammenhang | 172 | ||
| V.3.c Abstrakte Koordinatenflächen | 174 | ||
| V.3.d Anordnung abstrakter Koordinatenflächen | 176 | ||
| V.3.e Topologische Koordinaten | 178 | ||
| VI Die relativistische Raumzeit | 185 | ||
| VI.1 Die Wirkungsrelation | 185 | ||
| VI.1.a Grunddefinitionen und Winkelaxiome | 185 | ||
| VI.1.b Weltlinien und Stetigkeit | 190 | ||
| VI.1.c Geometrie der Lichtstrahlen | 192 | ||
| VI.2 Topologie | 198 | ||
| VI.2.a Metrisierbarkeit und Zusammenhang | 198 | ||
| VI.2.b Räume | 203 | ||
| VI.2.c Dimension und Einfachheit | 204 | ||
| VI.2.d Relativitätstheorie | 208 | ||
| VII Quantenphysik | 209 | ||
| VII.1 Beispiel: Das Bohrsche Forschungsprogramm | 209 | ||
| VII.2 Quantenmechanik im Hyperraum | 213 | ||
| VII.3 Modelle verborgener Parameter | 217 | ||
| VII.3.a Einfachheit und Faktorisierung | 217 | ||
| VII.3.b Einfachheit, Symmetrie und Ignoranzinterpretation | 221 | ||
| VIII Danksagung | 230 |